BELAJAR MATEMATIKA "HIMPUNAN"

                                                                                                                               

A.      Konsep Himpunan

Himpunan adalah suatu kumpulan atau koleksi dari objek-objek yang terdefinisi dengan jelas (well defined). Objek-objek dari himpunan yang dimaksud adalah suatu objek yang dapat ditentukan dengan pasti termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak. Terdefinisi dengan jelas artinya bahwa himpunan tersebut memiliki sifat-sifat dan syarat tertentu sebagai ciri pembeda yang menentukan keanggotaan suatu himpunan. Objek yang terdapat dalam himpunan disebut elemen, unsur atau anggota.  

Apakah kalimat-kalimat berikut termasuk himpunan?

1.        Kumpulan mahasiswa pandai

2.        Kumpulan mahasiswa cantik

3.        Kumpulan bilangan prima

Kata-kata yang merupakan sinonim dengan himpunan seperti gugus, kumpulan, kelas, koleksi, keluarga. Pada umumnya himpunan disimbolkan dengan huruf kapital, seperti A, B, C dan elemen-elemen dari himpunan disimbolkan dengan huruf alfabet kecil seperti a, b, c. notasi  dibaca “a ialah elemen/anggota dari A”. dan  dibaca “a bukan elemen/anggota dari A”.

Himpunan mungkin saja beranggotakan himpunan lagi. Himpunan seperti ini biasanya disebut koleksi dari himpunan-himpunan. Misalnya himpunan dari tim-tim sepak bola di Indonesia merupakan himpunan yang anggota-anggotanya adalah tim-tim kesebelasan sepakbola yang ada di Indonesia. Tentu saja pemain dari suatu tim kesebelasan bukan menjadi anggota dari koleksi himpunan tersebut.

B.       Penyajian Himpunan

Terdapat banyak cara untuk menyajikan himpunan. Disini akan dikemukakan 4 cara penyajian, yaitu :

1.        Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya

Contoh :

·           Himpunan bilangan asli kurang dari 6

·           Himpunan bilangan prima kurang dari 13

·           Himpunan bilangan ganjil kurang dari 11

2.        Bentuk pendaftaran (Tabular-Form)

Bentuk pendaftaran (Tabular-Form) yaitu dengan menuliskan semua elemen himpunan tersebut di dalam kurung kurawal. Dari contoh nomor 1 menjadi :

·     

·     

·       

3.        Bentuk pencirian (Set-Builder Form)

Bentuk pencirian (Set-Builder Form) yaitu dengan menuliskan sifat/ketentuan mengenai elemen himpuna tersebut. Dari contoh nomor 1 jika diubah dalam bentuk pencirian menjadi:

·     

·     

·       

4.        Diagram Venn

Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Di dalam diagram venn, himpunan semesta (S) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut. Dari contoh nomor 1 jika diubah dalam bentuk diagram venn menjadi:

.1 .2 .3 .4 .5

S

A

.1 .3 .5 .7 .9

S

C

.2 .3 .5 .7 .11

S

B

Penulisan anggota dalam suatu himpunan hanya sekali saja. Jadi tidak boleh menuliskan himpunan dengan . Jumlah anggota dalam himpunan A disebut cardinal dari himpunan A, dengan notasi .

C.      Jenis Himpunan

Ada beberapa jenis himpunan, yaitu :

1.        Himpunan Berhingga

Himpunan berhingga yaitu himpunan yang jumlah elemennya terbatas. Contoh :

·       Himpunan ibukota propinsi di pulau jawa

·       Himpunan bilangan asli kurang dari 7

·       Himpunan manusia yang hidup di bumi

2.        Himpunan Tak Berhingga

Himpunan tak berhingga yaitu himpunan yang jumlah elemennya tak terbatas. Contoh :

·  

·  

3.        Himpunan Kosong

Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak mempunyai elemen. Notasi untuk himpunan kosong adalah  atau . Contoh :

·  

·    atau  karena

4.        Himpunan Semesta (universal)

Himpunan S atau U disebut himpunan semesta jika S atau U mengandung semua elemen yang sedang dibicarakan/diperhatikan. Contoh jika kita membahas bilangan-bilangan:  maka himpunan semestanya adalah himpunan bilangan riil. Jika disajikan dalam diagram venn maka menjadi :

.-2  .-7  .11  .  .(0,333…)  .

Bilangan Riil

D.      Hubungan Antar Himpunan

Ada beberapa macam hubungan antar himpunan, yaitu :

1)        Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari  B. Dalam hal ini, B  dikatakan superset dari A.

Notasi : Subset . Superset . Subset sejati . Superset sejati

·      Subset/superset jika dan hanya jika  .

·      Subset sejati/superset sejati jika dan hanya jika

·      Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

Himpunan bagian jika digambarkan dengan diagram venn menjadi :

S

B

A

Contoh :

1)    Diberikan himpunan  dan . Karena semua anggota himpunan A  sama dengan anggota himpunan B maka A subset dari B atau ditulis   .

2)    Diberikan himpunan  dan . Karena semua anggota himpunan B  juga merupakan anggota himpunan A maka B subset sejari dari A atau ditulis .

3)    Diberikan himpunan . Buatlah himpunan bagian yang mungkin dari himpunan A tersebut! Jawab : { }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

2)        Himpunan Lepas (Disjoint)

Dua himpunan A  dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elelmen yang sama.

Notasi :  atau .

Contoh :

                                    

Maka :

3)        Himpunan Tak Lepas (Joint)

Dua himpunan A dan B dikatakan saling tak lepas jika ada elemen di himpunan A merupakan elemen di himpunan B.

Notasi :  

Contoh :

                                            

Maka :

4)        Himpunan Kuasa (Power set)

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

Notasi :  atau  

Contoh :

Diberikan himpunan . Himpunan bagian yang mungkin dari himpunan A adalah : , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

Maka himpunan kuasa dari himpunan A adalah

, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}

Berapa banyak himpunan bagian jika himpunan  ? 

5)        Diagram Garis

Diagram garis merupakan diagram yang menyatakan suatu himpunan yang merupakan himpunan bagian dari himpunan lainnya. Jika terdapat  berarti himpunan Bberada pada kedudukan yang lebih tinggi dari himpunan A, maka digambarkan sebagai berikut:

B

A

 

Contoh : Buatlah diagram garis pada himpunan-himpunan berikut!

                                                  

           

E.       Kesamaan Himpunan

Ada dua jenis kesamaan himpunan, yaitu :

1)        Himpunan Sama

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B  adalah himpunan bagian dari A.

Notasi :

Contoh :

                            

                   

Maka : , , ,

2)        Himpunan Ekivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B  jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

Notasi :

Contoh :

Jika  dan , maka  sebab

F.       Operasi Terhadap Himpunan

Jenis operasi yang lazim digunakan terhadap himpunan adalah operasi gabungan (union), irisan (intersection), komplemen (complement), selisih (difference), beda stangkup (symmetric difference) dan perkalian kartesian (cartesian product).

1)        Gabungan (union)

Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi :

Diagram venn untuk  adalah

S

B

A

Contoh :

Jika  dan  maka

2)        Irisan (intersection)

Irisan dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi :

Diagram venn untuk  adalah

S

B

A

Contoh :

·      Jika  dan  maka

·      Jika  dan  maka

3)        Komplemen (complement)

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta S adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen S yang bukan elemen A.

Notasi :

Diagram venn untuk  adalah

S

A

Contoh :

Misalkan . Jika  maka

4)        Selisih (difference)

Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B.

Notasi :

Diagram venn untuk  adalah

S

Contoh :

·      Misalkan  dan  maka

·      { . Jika

5)        Beda Stangkup (symmetric difference)

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi :

S

Diagram venn untuk  adalah

Contoh :

Jika  dan  maka

6)        Perkalian Kartesian (cartesian product)

Perkalian kartesian dari himpunan A dan B  adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.

Notasi :

Contoh :

Misalkan  dan  

maka

G.      Sifat-sifat Himpunan

1.        Idempoten a.     b.	5.      Identitas a.     b.
2.        Komutatif a.     b.	6.      Involusi
3.        Asosiatif a.     b.	7.      Komplemen
	a.    b.	c.    d.
4.        Distributif a.     b.	8.      Dalil De Morgan a.         b.

H.      Pembuktian Kalimat Himpunan

Terdapat beberapa metode untuk membuktikan kebenaran proposisi himpunan diantaranya :

1)        Pembuktian Dengan Menggunakan Definisi

Untuk membuktikan kesamaan himpunan, misalnya  maka harus dibuktikan dengan dua arah sesuai dengan definisinya, yaitu :  dan .

Contoh : Buktikan Dalil De Morgan berikut

Bukti!

Pertama, akan ditunjukkan bahwa

o     Ambil sembarang

o  

o   Artinya  dan

o     Jadi  dan , berarti

o     Dapat ditunjukkan bahwa

o     Maka:  

Kedua, akan ditunjukkan bahwa

o     Ambil sembarang

o      dan

o   Karena itu   dan , yang berarti 

o     Jadi

o     Dapat ditunjukkan bahwa

o     Maka: 

Dari pembuktian di atas diperoleh bahwa  dan sehingga dapat disimpulkan  (terbukti).

2)        Pembuktian Dengan Menggunakan Tabel Keanggotaan

Kesamaan himpunan juga bisa dibuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan. Menggunakan angka 1 untuk menyatakan bahwa suatu elemen adalah anggota himpunan, dan 0 untuk menyatakan bukan anggota himpunan. Analogi : 1 = Benar dan 0 = Salah.

Contoh : Buktikan Dalil De Morgan berikut

Bukti!

1	1	0	0	1	0	0
1	0	0	1	1	0	0
0	1	1	0	1	0	0
0	0	1	1	0	1	1

sama

Dari hasil tabel di atas, diperoleh pada kolom  dan kolom  memiliki nilai keanggotaan yang sama untuk semua kasus maka dapat terbukti bahwa .

3)        Pembuktian Dengan Menggunakan Diagram Venn

Membuktikan dengan diaram venn caranya dengan membuat diagram venn untuk pernyataan di sebelah kiri dan kemudian pernyataan untuk yang sebelah kanan, jika ternyata diagram ven keduannya sama berarti kesamaan tersebut benar. 

Contoh : Buktikan Dalil De Morgan berikut

Bukti!

S

B

A

(a).

(b).

S

S

B

A

(d).

(c).

S

Dari gambar diagram venn di atas terlihat bahwa  (terbukti)

I.         Implementasi Himpunan

Jika A suatu himpunan hingga, artinya A mempunyai anggota tepat sebanyak misalnya m anggota, kita dapat menyatakan banyaknya anggota A  sebagai n(A) . Berikut ini beberapa sifat yang berkaitan dengan banyaknya anggota himpunan, sebagai berikut:

1.    Jika A dan B himpunan hingga yang saling lepas , maka :

2.    Jika A dan B sembarang himpunan hingga yang beririsan, dan   hingga, demikian pula  maka :

3.        Sifat yang kedua dapat diperluas untuk sembarang 3 himpunan hingga A, B dan C yang saling beririsan, yaitu :

Contoh :

1)        Dari 45 mahasiswa diketahui terdapat 24 mahasiswa yang hobi dengan olahraga tenis meja, 35 mahasiswa hobi olahraga sepakbola dan 6 mahasiswa suka keduanya. Berapa mahasiswa yang tidak hobi olahraga tenis meja maupun sepakbola?

2)        Dari 120 mahasiswa semester ganjil jurusan pendidikan matematika , 100 mahasiswa mengambil paling sedikit satu kegiatan kemahasiswaan, yaitu olah raga, pecinta alam dan paduan suara. Diketahui bahwa :

65 mahasiswa mengikuti kegiatan olahraga

45 mahasiswa mengikuti kegiatan pecinta alam

42 mahasiswa mengikuti kegiatan paduan suara

20 mahasiswa mengikuti sekaligus kegiatan olah raga dan pecinta alam

25 mahasiswa mengikuti sekaligus kegiatan olah raga dan paduan suara

15 mahasiswa mengikuti kegiatan pecinta alam dan padaun suara

Berapa mahasiswa yang mengambil sekaligus 3 kegiatan mahasiswa tersebut?

Latihan Soal!

1.        Himpunan-himpunan berikut ini, manakah yang objek-objeknya didefinisikan dengan jelas?

a.     Himpunan 10 wanita tercantik

b.    Himpunan nama mahasiswa yang di lahirkan di bulan Mei

c.     Himpunan tujuh universitas terbesar

2.        Buatlah himpunan bentuk set-bulder form berikut ke dalam bentuk tabular form!

a.    

b.    

c.    

3.        Buatlah himpunan bentuk tabular form berikut ke dalam bentuk set-bulder form!

a.  

b. 

c.  

d. 

e.  

4.        Tentukan himpunan yang berhingga dan tak berhingga dari himpunan dibawah ini!

a.    adalah himpunan mahasiswa tahun 2012

b. 

c.    himpunan bilangan anatar 10 dan 1000 yang habis dibagi 7

5.    Jika diketahui   ,  dan . Tunjukkan himpunan yang merupakan subset dari himpunan lainnya, dan buatlah diagram garisnya!

6.        Benar atau salahkah pernyataan-pernyataan berikut ini! Jika salah betulkanlah!

a.   Jika  dan , maka

b.  Jika  dan  maka

7.    Pada himpunan semesta  terdapat himpunan ,  dan . Tentukan elemen-elemen himpunan dan buatlah diagram Venn dari operasi-operasi himpunan berikut:

a. 

b. 

c.   

d.   

e.   

f.  

g.   

h.   

8.    Diberikan himpunan ,  dan . Tentukanlah :

a. 

b. 

c.   

9.        Buktikan :

a. 

b.   

10.    Pada suatu kelas yang terdiri dari 50 siswa, hanya 25 siswa yang menyukai paling sedikit satu mata pelajaran matematika atau fisika. Ternyata ada 16 siswa yang menyukai pelajaran matematika dan 13 siswa yang menyukai pelajaran fisika. Tentukan banyaknya siswa yang menyukai kedua mata pelajaran tersebut!